Variations sur le théorème de Cassels, Ellison et Pfister
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چکیده
Artin [Ar] (1927) : Une fraction rationnelle f ∈ R(X1, . . . , Xn) positive sur R est une somme de carrés. Pfister [Pf] (1967) : c’est une somme de 2 carrés. En particulier pour n = 2, f ∈ 4 R(X,Y ). Cassels, Ellison, Pfister [CEP] (1971) : 4 carrés sont vraiment nécéssaires (i.e. le nombre de Pythagore de R(X, Y ) est 4, car le polynôme de Motzkin 1 + XY 4 + XY 2 − 3XY , positif ou nul, ne s’écrit pas comme somme de 3 carrés. Christie [Chr] (76) : Sous certaines conditions sur les entiers μ, ν, 1 + X[(X + μ) − ν/2]Y 2 + ν/16XY 4 ∈ 3 R(X,Y ) (avec une erreur) Colliot-Thélène [CT] (93) : Un polynôme de degré ≥ 6 à coefficients algébriquement indépendants n’est pas une somme de 3 carrés.
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